جهانبخش در دو سالگی به همراه خانوادهاش به قزوین مهاجرت کرد و دوران کودکی خود را در این شهر سپری کرد. پدرش در یک شرکت دوچرخهسازی مشغول به کار بود و مادرش به امور خانه رسیدگی میکرد. او یک خواهر بزرگتر و یک برادر کوچکتر دارد. علیرضا از دوران کودکی به فوتبال و فوتسال علاقه داشت و حتی برای تیم ملی فوتسال نوجوانان نیز دعوت شد، اما در نهایت مسیر حرفهای خود را در فوتبال ادامه داد
علیرضا در سال ۱۳۹۰ و در ۱۸ سالگی نخستین بازی حرفهای خود را برای داماش گیلان در لیگ برتر ایران مقابل مس کرمان انجام داد. او طی ۴۲ بازی برای این تیم موفق شد ۱۰ گل به ثمر برساند. در خرداد ۱۳۹۲، با قرارداد سهسالهای به باشگاه هلندی نایمخن پیوست و اولین بازی خود را برابر خرونینگن انجام داد. در فصل ۲۰۱۴۲۰۱۵، عنوان بهترین بازیکن دسته اول لیگ هلند را از آن خود کرد
